[라이프니츠 미분학 연재 #6] 연쇄법칙이란 무엇인가, 복잡한 미분을 쉽게 이해하는 방법

미분을 배우다 보면 어느 순간 이런 함수를 마주치게 됩니다. (x²+1)³ 같은 형태입니다. 괄호 안에 함수가 있고, 그게 다시 다른 함수의 입력으로 들어가는 구조입니다. 이걸 처음 봤을 때 저는 그냥 전개해서 풀려고 했습니다. 근데 괄호 안이 복잡해지면 전개 자체가 불가능해집니다. 이때 필요한 게 연쇄법칙입니다.

연쇄법칙은 외워야 할 공식이 아닙니다. 변화가 여러 단계를 거쳐 전달될 때 그 전체 변화를 어떻게 계산하는지를 설명하는 구조입니다. 이 관점으로 접근하면 공식이 왜 그런 형태인지 자연스럽게 이해됩니다.

연쇄법칙이란 무엇인가, 변화가 이어지는 구조로 이해하는 방법

📌 목차

• 연쇄법칙이 필요한 순간
• 합성함수란 무엇인가
• 변화가 두 단계를 거치는 구조
• 왜 곱으로 계산되는가
• 연쇄법칙 수식과 실제 계산
• 기어로 이해하는 연쇄법칙
• AI 역전파와의 연결

연쇄법칙이 필요한 순간

앞에서 배운 합의 미분과 곱의 미분으로 대부분의 기본 함수는 처리할 수 있습니다. 근데 이런 형태는 어떻게 할까요. y = (x²+1)³. 괄호 안에 함수가 있고 그게 세제곱으로 묶여 있습니다.

전개해서 풀 수도 있지만 (x²+1)³을 전개하면 항이 엄청 많아집니다. 괄호 안이 sin(x²)이나 e^(3x+1) 같은 형태라면 전개 자체가 불가능합니다. 이런 상황에서 쓰는 게 연쇄법칙입니다. 함수 안에 함수가 들어간 구조, 즉 합성함수를 미분하는 방법입니다.

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합성함수란 무엇인가

연쇄법칙을 이해하려면 먼저 합성함수가 뭔지 알아야 합니다. 합성함수는 함수 안에 함수가 들어간 구조입니다. y = (x²+1)³에서 안쪽 함수는 u = x²+1이고 바깥쪽 함수는 y = u³입니다.

x가 입력되면 먼저 안쪽 함수 u = x²+1을 거쳐 중간값 u가 만들어집니다. 그 u가 다시 바깥쪽 함수 y = u³에 들어가서 최종 결과 y가 나옵니다. 입력 → 중간값 → 최종 결과, 이렇게 두 단계를 거치는 구조입니다.

합성함수는 입력이 두 단계 함수를 차례로 거쳐 최종 결과가 만들어지는 구조입니다

 

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변화가 두 단계를 거치는 구조

이제 x가 조금 변하면 어떤 일이 생기는지 따라가 봅니다. x가 dx만큼 변하면 먼저 중간값 u가 du만큼 변합니다. 그 du가 다시 최종 결과 y를 dy만큼 변화시킵니다.

변화가 x → u → y 순서로 전달됩니다. 한 번에 가는 게 아니라 두 단계를 거쳐서 가는 거예요. 그래서 전체 변화율을 구하려면 각 단계의 변화율을 모두 고려해야 합니다. 1단계에서 x 변화가 u에 얼마나 영향을 주는지, 2단계에서 u 변화가 y에 얼마나 영향을 주는지를 둘 다 봐야 한다는 겁니다.

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왜 곱으로 계산되는가

각 단계의 변화율을 어떻게 합칠까요. 더하는 게 아니라 곱합니다. 왜 곱일까요.

1단계에서 x가 1 변할 때 u가 3 변한다고 해봅니다. 2단계에서 u가 1 변할 때 y가 5 변한다고 하면, x가 1 변할 때 y는 얼마나 변할까요. u가 3 변하고, u가 1 변할 때마다 y가 5씩 변하니까 y는 3 × 5 = 15 변합니다. 곱이 되는 게 자연스럽죠.

수식으로 쓰면 dy/dx = dy/du × du/dx입니다. du가 분자와 분모에 동시에 나타나서 약분되는 형태로도 볼 수 있습니다. 분수의 약분처럼 중간 단계가 사라지고 전체 변화율만 남습니다.

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연쇄법칙 수식과 실제 계산

연쇄법칙을 수식으로 쓰면 이렇습니다.

dy/dx = dy/du × du/dx

y = (x²+1)³으로 직접 계산해 보겠습니다. u = x²+1로 놓으면 y = u³입니다. du/dx는 u = x²+1을 x로 미분한 값이니 2x입니다. dy/du는 y = u³을 u로 미분한 값이니 3u²입니다. 두 값을 곱하면 dy/dx = 3u² × 2x = 6x(x²+1)²입니다. u 자리에 원래 식 x²+1을 다시 넣어주면 됩니다.

x = 1일 때 대입하면 dy/dx = 6 × 1 × (1+1)² = 6 × 4 = 24입니다. x = 1 지점에서 이 함수의 접선 기울기가 24라는 뜻입니다. 전개하지 않고 두 단계로 나눠서 계산했을 뿐인데 답이 나왔습니다.

단계	계산 내용	결과
안쪽 함수 설정	u = x²+1	du/dx = 2x
바깥쪽 함수 설정	y = u³	dy/du = 3u²
연쇄법칙 적용	dy/du × du/dx	3u² × 2x
u 대입	u = x²+1 대입	6x(x²+1)²

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기어로 이해하는 연쇄법칙

연쇄법칙을 직관적으로 이해하는 데 기어 비유가 도움이 됩니다. 기어 A가 돌면 기어 B가 돌고, 기어 B가 돌면 기어 C가 돕니다. A가 1바퀴 돌 때 B가 3바퀴 돌고, B가 1바퀴 돌 때 C가 2바퀴 돈다면 A가 1바퀴 돌 때 C는 3 × 2 = 6바퀴 돕니다.

연쇄법칙이 딱 이 구조입니다. x가 변하면 u가 변하고, u가 변하면 y가 변합니다. 각 단계의 변화율을 곱하면 전체 변화율이 나옵니다. 기어가 몇 개 연결되든 같은 방식으로 계산할 수 있습니다. 함수가 3단계, 4단계로 중첩돼도 각 단계의 미분을 모두 곱하면 됩니다.

 

기어가 연결되어 회전이 전달되듯 연쇄법칙에서 변화율은 각 단계를 곱해서 전달됩니다

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AI 역전파와의 연결

연쇄법칙이 가장 강력하게 쓰이는 곳이 인공지능의 역전파(Backpropagation)입니다. 딥러닝 모델은 여러 층이 연결된 구조인데, 입력이 첫 번째 층을 거치고 두 번째 층을 거치고 계속 이어져서 최종 결과가 나옵니다. 합성함수가 수십 단계 중첩된 셈입니다.

학습할 때는 최종 결과의 오차를 줄이기 위해 각 층의 가중치를 조정해야 합니다. 이때 최종 오차가 각 층에 얼마나 영향을 받는지를 계산해야 하는데, 이게 연쇄법칙으로 이루어집니다. 마지막 층부터 역방향으로 거슬러 올라가면서 각 단계의 미분을 곱해나가는 방식입니다. 역전파라는 이름이 붙은 이유가 여기에 있습니다.

결국 ChatGPT 같은 AI가 학습하는 핵심 원리가 연쇄법칙입니다. 17세기에 만들어진 미분 개념이 현대 AI의 학습 알고리즘 안에 그대로 살아있는 셈입니다.

AI 역전파는 연쇄법칙을 이용해 각 층의 기여도를 역방향으로 계산하는 정입니다